tag:blogger.com,1999:blog-84928515839877558202024-02-18T17:41:12.264-08:00Trigonometria,Angulos y TriangulosAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/17766781635397816198noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-8492851583987755820.post-25864375617185209542012-01-26T15:51:00.000-08:002012-02-07T17:46:19.474-08:00Geometria,Angulo y Triangulo<div style="text-align: center;">
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<span style="font-size: 48pt; line-height: 115%;"><span style="font-size: x-large;">COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO</span></span></div>
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<span style="font-size: 48pt; line-height: 115%;"><span style="font-size: x-large;">PLANTEL #5 </span></span></div>
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/></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-size: 48pt; line-height: 115%;"></span><span style="font-size: large;"><span style="line-height: 115%;">2do. "A" T/M </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><span style="line-height: 115%;">Alumnos:</span></span><span style="font-size: large;"><span style="line-height: 115%;"> </span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<ul style="text-align: left;">
<li><span style="font-size: large;"><span style="line-height: 115%;">Marco Antonio Arenas</span></span></li>
</ul>
</div>
<br />
<ul style="text-align: left;">
</ul>
<ul style="text-align: left;">
<li><span style="font-size: large;">Fernando Aguilar </span></li>
</ul>
<br />
<ul style="text-align: left;">
</ul>
<ul style="text-align: left;">
<li><span style="font-size: large;"> Jonathan Elbert Martinez</span></li>
</ul>
<br />
<ul style="text-align: left;">
</ul>
<ul style="text-align: left;">
<li><span style="font-size: large;">Pedro Acosta </span></li>
</ul>
<br />
<ul style="text-align: left;">
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXNWTaZ6-yhQfMm0CVYW6wkPRysCJNXYfjjb-I-Ip8rqA0fG-3QcjPFWCuBUXNaff1mBZxSstvBRjPPEZnK4-Yq9hwIaPLi5Yn71ocieQcBnVfbc6ZuZpBY29sH3uFN1Clw07p43n04eU/s1600/IMG_20120126_133250.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXNWTaZ6-yhQfMm0CVYW6wkPRysCJNXYfjjb-I-Ip8rqA0fG-3QcjPFWCuBUXNaff1mBZxSstvBRjPPEZnK4-Yq9hwIaPLi5Yn71ocieQcBnVfbc6ZuZpBY29sH3uFN1Clw07p43n04eU/s400/IMG_20120126_133250.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: #999999; font-size: x-large;"><b>GEOMETRIA</b></span></div>
<table align="left" cellpadding="0" cellspacing="0"></table>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;">La <b>Geometría</b> (del latín <i>geometrĭa</i>, que proviene del </span><span style="font-size: small;">idioma griego</span><span style="font-size: small;"> γεωμετρία, <i>geo</i> tierra y <i>metria</i> medida), es una rama de la </span><span style="font-size: small;">matemática</span><span style="font-size: small;"> que se ocupa del estudio de las propiedades de las </span><span style="font-size: small;">figuras geométricas</span><span style="font-size: small;"> en el plano o el </span><span style="font-size: small;">espacio</span><span style="font-size: small;">, como son: </span><span style="font-size: small;">puntos</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">rectas</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">planos</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">politopos</span><span style="font-size: small;"> (</span><span style="font-size: small;">paralelas</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">perpendiculares</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">curvas</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">superficies</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">polígonos</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">poliedros</span><span style="font-size: small;">, etc).</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">Es la justificación teórica de la </span><span style="font-size: small;">geometría descriptiva</span><span style="font-size: small;"> o del </span><span style="font-size: small;">dibujo técnico</span><span style="font-size: small;">. También da fundamento a instrumentos como el </span><span style="font-size: small;">compás</span><span style="font-size: small;">, el </span><span style="font-size: small;">teodolito</span><span style="font-size: small;">, el </span><span style="font-size: small;">pantógrafo</span><span style="font-size: small;"> o el </span><span style="font-size: small;">sistema de posicionamiento global</span><span style="font-size: small;"> (en especial cuando se la considera en combinación con el </span><span style="font-size: small;">análisis matemático</span><span style="font-size: small;"> y sobre todo con las </span><span style="font-size: small;">ecuaciones diferenciales</span><span style="font-size: small;">).</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en </span><span style="font-size: small;">física aplicada</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">mecánica</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">arquitectura</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">cartografía</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">astronomía</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">náutica</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">topografía</span><span style="font-size: small;">, </span><span style="font-size: small;">balística</span><span style="font-size: small;">, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de </span><span style="font-size: small;">artesanías</span><span style="font-size: small;">.</span></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>HISTORIA:</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en los Elementos.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>Tipos de Geometria:</b></span></div>
<br />
<span style="font-size: large;">Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:<br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="font-size: large;"></span><br />
<ul><span style="font-size: large;">
<li>Geometría euclidiana</li>
</span></ul>
<span style="font-size: large;">
<br />
<ul>
<li>Geometría plana</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría espacial</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría no euclidiana</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría riemanniana</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría analítica</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría diferencial</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría proyectiva</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría descriptiva</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría de incidencia</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría de dimensiones bajas</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Geometría sagrada</li>
</ul>
</span><br />
<div style="text-align: center;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: #999999; font-size: x-large;"><b>LOS ANGULOS</b></span> </div>
<div style="text-align: center;">
<br />
<br /></div>
Un <b>ángulo</b> es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.<br />
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.<br />
<br />
<br />
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano<br />
<br />
<br />
<ul>
<li>Forma geométrica: Se denomina <b>ángulo</b> a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.
Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen
común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas
tangentes en el punto de intersección.</li>
</ul>
<br />
<br />
<br />
<ul>
<li> Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe
un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como
vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la
rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj),
el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro
(conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>DEFINICIONES CLASICAS:</b> </span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Euclides
define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se
encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según
Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación.
El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch,
que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se
intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus
definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ANGULOS:</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:<br />
<br />
<ul>
<li>Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Grado centesimal</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Grado sexagesimal</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<table border="1" class="wikitable"><tbody>
<tr><th>Tipo</th>
<th>Descripción</th>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo nulo</td>
<td>Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.</td>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo agudo
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_agudo.svg"><img alt="Ángulo agudo.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/%C3%81ngulo_agudo.svg/100px-%C3%81ngulo_agudo.svg.png" width="100" /></a></td>
<td>Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de <img alt="\frac{\pi}{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/c/f/dcfd65e77306c010f27fc20371cf83b1.png" /> rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100<sup>g</sup> (grados centesimales).</td>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo recto
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_recto.svg"><img alt="Ángulo recto.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/%C3%81ngulo_recto.svg/100px-%C3%81ngulo_recto.svg.png" width="100" /></a></td>
<td>Un ángulo recto es de amplitud igual a <img alt="\frac{\pi}{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/c/f/dcfd65e77306c010f27fc20371cf83b1.png" /> rad
Es equivalente a 90° <i>sexagesimales</i> (o 100<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).<br />
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.<br />
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.</td>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo obtuso
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_obtuso.svg"><img alt="Ángulo obtuso.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/%C3%81ngulo_obtuso.svg/100px-%C3%81ngulo_obtuso.svg.png" width="100" /></a></td>
<td>Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a <img alt="\frac{\pi}{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/c/f/dcfd65e77306c010f27fc20371cf83b1.png" /> rad y menor a <img alt="\pi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/a/d/eadbf26e3cb9eae366fbb8c8593ac9e9.png" /> rad
Mayor a 90° y menor a 180° <i>sexagesimales</i> (o más de 100<sup>g</sup> y menos de 200<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).</td>
</tr>
<tr>
<td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_llano.svg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Ángulo llano.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/%C3%81ngulo_llano.svg/100px-%C3%81ngulo_llano.svg.png" width="100" /></a>Ángulo llano, extendido o colineal
</td>
<td>El ángulo llano tiene una amplitud de <img alt=" \pi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/a/d/eadbf26e3cb9eae366fbb8c8593ac9e9.png" /> rad
Equivalente a 180° <i>sexagesimales</i> (o 200<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).</td>
</tr>
<tr>
<td><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_completo.svg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="Ángulo completo.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/%C3%81ngulo_completo.svg/100px-%C3%81ngulo_completo.svg.png" width="100" /></a></div>
Ángulo completo o perigonal
</td>
<td>Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de <img alt=" 2\pi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/2/3/8/2383bd43d68a54dcbd5502106997681e.png" /> rad
Equivalente a 360° <i>sexagesimales</i> (o 400<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>AGULOS CONVEXO Y CONCAVO:</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un
origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor
amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):<br />
<br />
<br />
<br />
<table border="1" class="wikitable"><tbody>
<tr>
<th>Tipo</th>
<th>Descripción</th>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo convexo<br />
o saliente
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_agudo.svg"><img alt="Ángulo agudo.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/%C3%81ngulo_agudo.svg/100px-%C3%81ngulo_agudo.svg.png" width="100" /></a></td>
<td>Es el que mide menos de <img alt=" \pi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/a/d/eadbf26e3cb9eae366fbb8c8593ac9e9.png" /> rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180° <i>sexagesimales</i> (o más de 0<sup>g</sup> y menos de 200<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).</td>
</tr>
<tr>
<td>Ángulo cóncavo,<br />
reflejo o entrante
<a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:%C3%81ngulo_c%C3%B3ncavo.svg"><img alt="Ángulo cóncavo.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/%C3%81ngulo_c%C3%B3ncavo.svg/100px-%C3%81ngulo_c%C3%B3ncavo.svg.png" width="100" /></a></td>
<td>Es el que mide más de <img alt=" \pi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/a/d/eadbf26e3cb9eae366fbb8c8593ac9e9.png" /> rad y menos de <img alt=" 2 \pi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/2/3/8/2383bd43d68a54dcbd5502106997681e.png" /> rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° <i>sexagesimales</i> (o más de 200<sup>g</sup> y menos de 400<sup>g</sup> <i>centesimales</i>).</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br />
<br />
<span style="background-color: #999999; font-size: x-large;"><b>TRIANGULO</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Un <b>triángulo</b>, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.<br />
<br />
<br />
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.<br />
Si está contenido en una superficie plana se denomina <b>triángulo</b>, o <b>trígono</b>, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina <b>triángulo esférico</b>. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama <b>triángulo geodésico</b>.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>Conversion de la escritura:</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: <i><b>A</b></i>, <i><b>B</b></i>, <i><b>C</b></i>,...<br />
<br />
<br />
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo <i><b>ABC</b></i>. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (<i><b>ABC</b></i>, <i><b>ACB</b></i>, <i><b>BAC</b></i>, <i><b>BCA</b></i>, <i><b>CAB</b></i>, <i><b>CBA</b></i>), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.<br />
<br />
<br />
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: <i><b>AB</b></i>, <i><b>BC</b></i> y <i><b>AC</b></i>.<br />
Para nombrar la <i>longitud</i> de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i></span></b> para <i><b>BC</b></i>, <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i>b</i></span></b> para <i><b>AC</b></i>, <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i>c</i></span></b> para <i><b>AB</b></i>.<br />
<br />
<br />
La notación general para el ángulo entre dos segmentos <i><b>OP</b></i> y <i><b>OQ</b></i> que comparten el extremo <i><b>O</b></i> es <img alt="\widehat{POQ} .\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/f/1/6/f16b15358d9456a25c85c8d2b199bb8d.png" /><br />
<br />
También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:<br />
<br />
<dl><dd><img alt="\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} ,\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/f/4/3/f438d0c35dc8e41757b76cbe1b7c1b72.png" /></dd></dl>
<br />
<br />
<br />
<table align="top" border="0" class="wikitable" style="background: rgb(255, 255, 255);"><caption align="center" style="background: darkgray; color: white;"><big><b>Triángulos — Resumen de convenciones de designación</b></big></caption><tbody>
<tr align="center"><td style="height: 40px; width: 100px;"><b><big>Vértices</big></b></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">A,</span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">B,</span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">C,</span></td></tr>
<tr align="center"><td style="height: 40px; width: 200px;"><b><big>Lados</big> (<i>como segmento</i>)</b></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">BC,</span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">AC,</span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr">AB,</span></td></tr>
<tr align="center"><td style="height: 40px; width: 100px;"><b><big>Lados</big> (<i>como longitud</i>)</b></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr"><i>a,</i></span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr"><i>b,</i></span></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><span class="texhtml" dir="ltr"><i>c,</i></span></td></tr>
<tr align="center"><td style="height: 40px; width: 100px;"><b><big>Ángulos</big></b></td><td style="height: 40px; width: 200px;"><img alt=" \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/3/1/331f1a8f398893fb9f0032623ec291ba.png" />,</td><td style="height: 40px; width: 200px;"><img alt=" \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/0/4/a/04abe4141858d9de2cebb495d31db1c7.png" />,</td><td style="height: 40px; width: 200px;"><img alt=" \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/f/5/6/f56ee709cf2657f93a5e3a4ef7bcabad.png" />,</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>Clasificacion de los angulos:</b></span></div>
<br />
<br />
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.<br />
<br />
<h3>
<span class="mw-headline" id="Por_las_longitudes_de_sus_lados"><span style="font-size: large;">Por las longitudes de sus lados</span></span></h3>
<br />
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:<br />
<br />
<ul>
<li>como <b>triángulo equilátero</b>, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó <img alt="\pi/3\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/9/4/d945bf8cd7dbbc490c1197c6e2a8db4d.png" /> radianes.)</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>como <b>triángulo isósceles</b> (del griego <i>iso</i>, igual, y <i>skelos</i>, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales)</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>como <b>triángulo escaleno</b> ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<table align="center"><tbody>
<tr align="center"><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Equilateral.svg" title="Triángulo equilátero."><img alt="Triángulo equilátero." height="180" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Triangle.Equilateral.svg/122px-Triangle.Equilateral.svg.png" width="200" /></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Isosceles.svg" title="Triángulo isósceles."><img alt="Triángulo isósceles." height="114" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle.Isosceles.svg/74px-Triangle.Isosceles.svg.png" width="74" /></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Scalene.svg" title="Triángulo escaleno."><img alt="Triángulo escaleno." height="110" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Triangle.Scalene.svg/245px-Triangle.Scalene.svg.png" width="245" /></a></td></tr>
<tr align="center"><td>Equilátero</td><td>Isósceles</td><td>Escaleno</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span class="mw-headline"><span style="font-size: large;"><b>Por la amplitud de sus ángulos</b></span></span></div>
<br />
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:<br />
<br />
<br />
<br />
<table style="border: 2px solid silver; height: 142px; margin: 4px; text-align: center; width: 415px;"><tbody>
<tr><td><table style="margin: 1em;"><caption>(<i>Clasificación por amplitud de sus ángulos</i>)</caption><tbody>
<tr><td></td><td><b>Triángulos</b></td><td><table style="border-left-color: green; border-left-style: solid; border-left-width: 4px;"><tbody>
<tr><td><table><tbody>
<tr><td><b>Rectángulos</b></td></tr>
<tr><td><b>Oblicuángulos</b></td><td><table style="border-left-color: green; border-left-style: solid; border-left-width: 4px;"><tbody>
<tr><td><table><tbody>
<tr><td><b>Obtusángulos</b></td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
<tr><td><table><tbody>
<tr><td><b>Acutángulos</b></td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo rectángulo</b>: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina <i>catetos</i> y al otro lado <i>hipotenusa</i>.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo oblicuángulo</b>: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo obtusángulo</b>: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo acutángulo</b>: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<table align="center"><tbody>
<tr align="center"><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Right.svg" title="Triángulo Rectángulo"><img alt="Triángulo Rectángulo" height="113" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Triangle.Right.svg/150px-Triangle.Right.svg.png" width="150" /></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Obtuse.svg" title="Triángulo Obtusángulo"><img alt="Triángulo Obtusángulo" height="113" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Triangle.Obtuse.svg/113px-Triangle.Obtuse.svg.png" width="113" /></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle.Acute.svg" title="Triángulo Acutángulo"><img alt="Triángulo Acutángulo" height="113" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Triangle.Acute.svg/181px-Triangle.Acute.svg.png" width="181" /></a></td></tr>
<tr align="center"><td>Rectángulo</td><td>Obtusángulo</td><td>Acutángulo</td></tr>
<tr align="center"><td></td><td colspan="2"><img alt="\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/f/3/b/f3bbef33553948217b421ea85f918ceb.png" /></td></tr>
<tr align="center"><td></td><td colspan="2">Oblicuángulos</td></tr>
</tbody></table>
<h3 style="text-align: center;">
</h3>
<h3 style="text-align: center;">
<span class="mw-headline" id="Clasificaci.C3.B3n_seg.C3.BAn_los_lados_y_los_.C3.A1ngulos"><span style="font-size: large;">Clasificación según los lados y los ángulos</span></span></h3>
Los triángulos acutángulos pueden ser:<br />
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo acutángulo isósceles</b>: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<ul>
<li><b>Triángulo acutángulo escaleno</b>: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<ul>
<li><b>Triángulo acutángulo equilátero</b>: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
Los triángulos rectángulos pueden ser:<br />
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo rectángulo isósceles</b>: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<ul>
<li><b>Triángulo rectángulo escaleno</b>: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
Los triángulos obtusángulos pueden ser:<br />
<br />
<br />
<ul>
<li><b>Triángulo obtusángulo isósceles</b>: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.</li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<ul>
<li><b>Triángulo obtusángulo escaleno</b>: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.</li>
</ul>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><table border="1" class="wikitable"><tbody>
<tr><th><span style="font-size: large;">Triángulo</span></th><td><span style="font-size: large;"><b>equilátero</b></span></td><td><span style="font-size: large;"><b>isósceles</b></span></td><td><span style="font-size: large;"><b>escaleno</b></span></td></tr>
<tr><td><b>acutángulo</b></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero.svg"><b><img alt="Triángulo equilátero.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero.svg.png" width="120" /></b></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg"><b><img alt="Triángulo acutángulo isósceles.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg.png" width="120" /></b></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_escaleno.svg"><b><img alt="Triángulo acutángulo escaleno.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_escaleno.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_acut%C3%A1ngulo_escaleno.svg.png" width="120" /></b></a></td></tr>
<tr><td><b>rectángulo</b></td><td><b></b></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg"><b><img alt="Triángulo rectángulo isósceles.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg.png" width="120" /></b></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_escaleno.svg"><b><img alt="Triángulo rectángulo escaleno.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_escaleno.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo_escaleno.svg.png" width="120" /></b></a></td></tr>
<tr><td><b>obtusángulo</b></td><td></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg"><img alt="Triángulo obtusángulo isósceles.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles.svg.png" width="120" /></a></td><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_escaleno.svg"><img alt="Triángulo obtusángulo escaleno.svg" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_escaleno.svg/120px-Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_escaleno.svg.png" width="120" /></a></td></tr>
</tbody></table>
</center><br />
<br />
<div align="center">
<span style="font-size: large;"><b>Congruencia de Triangulos:</b></span></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.<br />
<br />
<h3 style="text-align: center;">
<span class="mw-headline" id="Postulados_de_congruencia">Postulados de congruencia</span></h3>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<table border="1" class="wikitable" style="height: 377px; width: 651px;"><tbody>
<tr><th>Triángulo</th><th>Postulados de congruencia</th></tr>
<tr><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_LAL.svg"><img alt="Postulado LAL.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Postulado_LAL.svg/100px-Postulado_LAL.svg.png" width="100" /></a></td><td><b>Postulado LAL</b> (Lado, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.</td></tr>
<tr><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_ALA.svg"><img alt="Postulado ALA.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Postulado_ALA.svg/100px-Postulado_ALA.svg.png" width="100" /></a></td><td><b>Postulado ALA</b> (Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).</td></tr>
<tr><td><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_LLL.svg"><img alt="Postulado LLL.svg" height="68" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Postulado_LLL.svg/100px-Postulado_LLL.svg.png" width="100" /></a></td><td><b>Postulado LLL</b> (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.</td></tr>
</tbody></table>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<span class="mw-headline" id="Teoremas_de_congruencia"><span style="font-size: x-large;"><b>Teoremas de congruencia</b></span></span></div>
<div align="center">
<br /></div>
<table border="1" class="wikitable" style="height: 111px; width: 651px;"><tbody>
<tr><th>Triángulo</th><th>Teoremas de congruencia</th></tr>
<tr><td></td><td><b>Teorema AAL</b> (Ángulo, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.</td></tr>
</tbody></table>
<h3 style="text-align: center;">
</h3>
<h3 style="text-align: center;">
<span class="mw-headline" id="Congruencia_de_tri.C3.A1ngulos_rect.C3.A1ngulos"><span style="font-size: large;">Congruencia de triángulos rectángulos</span></span></h3>
<ul>
<li><b>Criterio HC</b> (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Criterio CC</b> (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Criterio HA</b> (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Criterio CA</b> (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.</li>
</ul>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<span style="font-size: large;"><b>Semejanza De Triangulos</b></span></div>
<div align="center">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<li><b>Criterio AA</b> (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.</li>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<li><b>Criterio LAL</b> (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.</li>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<li><b>Criterio LLL</b> (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales</li>
<br />
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<span style="font-size: large;"><b> <span class="mw-headline" id="Semejanza_de_tri.C3.A1ngulos_rect.C3.A1ngulos">Semejanza de triángulos rectángulos</span></b></span></div>
<div align="center">
<br /></div>
Dos <span style="color: black;">triángulos rectángulos son</span> semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:<br />
<br />
<ul>
<li>Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.</li>
</ul>
<div align="center">
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Centro de Triangulos</b></span></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:<br />
<ul>
<li><b>Baricentro</b>: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Centroide</b> el punto de concurrencia de las tres medianas.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Circuncentro</b>: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Incentro</b>: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Ortocentro</b>: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><b>Exincentros</b> son los centros de las circunferencias exinscritas.Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.</li>
</ul>
<br />
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b> <span style="font-size: large;">Elementos notables de un Triangulo</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><b>Mediana:</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama <i><b>mediana</b></i>.<br />
<ul>
<li>Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto <b>G</b>- llamado <i><b>centroide</b></i> o <i><b>baricentro</b></i> del triángulo.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.</li>
</ul>
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (<i>válidas para cualquier triángulo</i>), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (<i>los elementos en cuestión son <b>lados</b> y <b>medianas</b></i>). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline" id="Mediatr.C3.ADz_y_circunferencia_circunscrita"><b>Mediatríz y circunferencia circunscrita:</b></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: black;">Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (<i>también llamada simetral</i>). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados <b><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="font-family: Batang;">[<i>A</i><i>B</i>]</span></span></b>, <b><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="font-family: Batang;">[<i>A</i><i>C</i>]</span></span></b> y <b><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="font-family: Batang;">[<i>B</i><i>C</i>]</span></span></b>.</span><br />
<br />
<span style="color: black;">Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i><span style="font-family: Batang;">O</span></i></span></b> equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i><span style="font-family: Batang;">O</span></i></span></b> y radio <b><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="font-family: Batang;"><i>O</i><i>A</i></span></span></b> que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la <b>circunferencia circunscrita</b> al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.</span><br />
<br />
<ul>
<li><span style="color: black;">En un </span><span style="color: black;">triángulo acutángulo</span><span style="color: black;">, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.</span></li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><span style="color: black;">En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.</span></li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><span style="color: black;">En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.</span></li>
</ul>
<br />
<ul>
</ul>
<dl>
<dt><div style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: large;"><b>Propiedad:</b></span></div>
</dt>
<dt><div style="text-align: center;">
</div>
</dt>
</dl>
<span style="color: black;">Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.</span><br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline" id="Bisectr.C3.ADz.2C_circunferencia_inscrita_y_circunferencia_exinscrita"><b>Bisectríz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita:</b></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline"><span style="color: black;"><span style="font-size: small;">Las <i><b>bisectrices</b></i> de un triángulo son las </span><span style="font-size: small;">bisectrices</span><span style="font-size: small;"> de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.</span></span><br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;">Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto <b>O</b>. La <b>circunferencia inscrita</b> del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el </span><span style="font-size: small;">incentro</span><span style="font-size: small;">, que es el <b>centro de la circunferencia inscrita</b> en el triángulo.</span></span><br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;">Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados </span><span style="font-size: small;">exincentros</span></span><span style="color: black; font-size: small;">, que son los <b>centros de las circunferencias exinscritas</b> del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las <b>circunferencias exinscritas</b> son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.</span><br />
</span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline"></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline"></span></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline"><span style="color: black; font-size: small;"><span class="mw-headline" id="Alturas_y_ortocentro"><span style="font-size: large;"><b>Alturas y ortocentro:</b></span></span></span></span></span></div>
<span style="font-size: large;"><span class="mw-headline">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: black; font-size: small;"><span class="mw-headline">Se llama <b>altura de un triángulo</b> al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la <b>base</b> del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.Estas 3 alturas se cortan en un punto único <b><span class="texhtml" dir="ltr"><i>H</i></span></b> (son <i>concurrentes</i>), llamado <i><b>ortocentro</b></i> del triángulo.<br />
<dl>
<dt>Propiedades</dt>
</dl>
<ul>
<li>Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.</li>
</ul>
<br />
<ul>
<li>Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.</li>
</ul>
<span class="mw-headline" id="Recta_de_Euler">:</span><br />
<div style="text-align: center;">
</div>
</span></span></span></span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
</div>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17766781635397816198noreply@blogger.com4