jueves, 26 de enero de 2012

Geometria,Angulo y Triangulo


 
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO
PLANTEL #5
2do. "A"  T/M

Alumnos: 
  • Marco Antonio Arenas

  • Fernando Aguilar 

  • Jonathan Elbert Martinez

  • Pedro Acosta

GEOMETRIA
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

HISTORIA:

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en los Elementos.

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Tipos de Geometria:

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:




  • Geometría euclidiana

  • Geometría plana

  • Geometría espacial

  • Geometría no euclidiana

  • Geometría riemanniana

  • Geometría analítica

  • Geometría diferencial

  • Geometría proyectiva

  • Geometría descriptiva

  • Geometría de incidencia

  • Geometría de dimensiones bajas

  • Geometría sagrada



LOS ANGULOS


Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.


Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano


  • Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.



  •   Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

DEFINICIONES CLASICAS:


Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.


UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ANGULOS:

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

  • Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

  • Grado centesimal

  • Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.


Tipo Descripción
Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo Ángulo agudo.svg Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto Ángulo recto.svg Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso Ángulo obtuso.svg Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano.svgÁngulo llano, extendido o colineal El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completo.svg
Ángulo completo o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

AGULOS CONVEXO Y CONCAVO:

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):



Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente Ángulo agudo.svg
Es el que mide menos de  \pi\, rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante Ángulo cóncavo.svg
Es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).



TRIANGULO



Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.


Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.


Conversion de la escritura:

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,...


Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.


Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.


La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es \widehat{POQ} .\,

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} ,\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,



Triángulos — Resumen de convenciones de designación
VérticesA,B,C,
Lados (como segmento)BC,AC,AB,
Lados (como longitud)a,b,c,
Ángulos \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} , \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} , \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} ,

Clasificacion de los angulos:


Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados


Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

  • como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó \pi/3\, radianes.)

  • como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales)

  • como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Triángulo equilátero.Triángulo isósceles.Triángulo escaleno.
EquiláteroIsóscelesEscaleno


Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:



(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos
Obtusángulos
Acutángulos

  • Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

  • Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

  • Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

  • Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo RectánguloTriángulo ObtusánguloTriángulo Acutángulo
RectánguloObtusánguloAcutángulo
\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}
Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

  • Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

  • Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

  • Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

  • Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:


  • Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

  • Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.






Triánguloequiláteroisóscelesescaleno
acutánguloTriángulo equilátero.svgTriángulo acutángulo isósceles.svgTriángulo acutángulo escaleno.svg
rectánguloTriángulo rectángulo isósceles.svgTriángulo rectángulo escaleno.svg
obtusánguloTriángulo obtusángulo isósceles.svgTriángulo obtusángulo escaleno.svg


Congruencia de Triangulos:


Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia



TriánguloPostulados de congruencia
Postulado LAL.svgPostulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
Postulado ALA.svgPostulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
Postulado LLL.svgPostulado LLL (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.



Teoremas de congruencia

TriánguloTeoremas de congruencia
Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

 

Congruencia de triángulos rectángulos

  • Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

  • Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.

  • Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

  • Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza De Triangulos




  • Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.





  • Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo          comprendido entre ellos es congruente.





  • Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales



  •  Semejanza de triángulos rectángulos

    Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

    • Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.

    • Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.

    • Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

    Centro de Triangulos


    Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:
    • Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

    • Centroide el punto de concurrencia de las tres medianas.

    • Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

    • Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

    • Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

    • Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas.Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

    El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

     Elementos notables de un Triangulo

    Mediana:

    El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.
    • Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.

    • Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

    • Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.
    Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

    Mediatríz y circunferencia circunscrita:

    Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados [AB], [AC] y [BC].

    Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto O equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro O y radio OA que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.

    • En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.

    • En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.

    • En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

    Propiedad:
    Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

    Bisectríz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita:

    Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.

    Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

    Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.



    Alturas y ortocentro:

    Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.Estas 3 alturas se cortan en un punto único H (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.
    Propiedades
    • Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.

    • Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

    • Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.
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    4 comentarios:

    1. Saludos

      Muy bien, ya pueden subir lo referente al bloque 2 no olviden anexar páginas que retroalimenten los contenidos

      Hasta luego

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      1. :) si gracias porf. Ya luego subiremos Lo del 2do. bloque!!

        SALUDOS!!

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    2. Chaleee' jaja me sorprenden, me gusto mucho su blog y la cara de Jonathan de chico malo jaja' USTEDES MUY BIEN!

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    3. jeje GRacias Pamela & Isis Violeta!!

      Le seguiremos Echandole muchas ganas asi como Ustedes :)

      Saludos!

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